отношение делимости в областях целостности

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

1. Общая теория делимости 4

1.1. Основные понятия теории делимости в областях целостности 4

1.2. Кольцо целостности – объект области целостности 6

1.3. Простые и составные элементы области целостности 7

2. Использование теории делимости при решении задач 13

2.1. Отношение делимости в области целостности 13

2.2. Решение задач на различные виды колец 16

2.3. Решение задач на использование простых и составных элементов 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26

Список используемой литературы 27

ВВЕДЕНИЕ

В курсе алгебры доказывается так называемая основная теорема арифметики: любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых множителей и притом единственным способом, с точностью до порядка следования сомножителей. Аналогичное утверждение имеет место и в кольце многочленов P(x). При решении многих вопросов удобно иметь разложение элементов кольца на простые множители. Однако не во всяком кольце такое представление существует, а если и существует, то не всегда единственно. Возникает вопрос, в каких кольцах элементы можно представить в виде произведения простых множителей, и при каких условиях такое разложение единственно.

В начале работы вводится понятие области целостности и рассматриваются некоторые элементы этой области. В них разбираются определения, теоремы и свойства теории делимости. Во второй главе разбираются примеры задач на теорию делимости в области целостности.

В работе используются следующие обозначения: буквами N ,Z, Q, R, C обозначены соответственно множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. P(x) обозначает кольцо многочленов от переменной x над полем P.